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<head>
<title>
Revised^5 Report on the Algorithmic Language Scheme
</title>
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<p></p>
<a name="%_chap_Temp_9"></a>
<h1 class=chapter>
<div class=chapterheading>&nbsp;</div><br>
<a href="r5rs-Z-H-2.html#%_toc_%_chap_Temp_9">Example</a></h1>
<p>
</p>
<p></p>
<p> 
<tt>Integrate-system</tt> integrates the system 
</p>
<div align=left><img src="r5rs-Z-G-63.gif" border="0"></div>
<p>
of differential equations with the method of Runge-Kutta.</p>
<p>
The parameter <tt>system-derivative</tt> is a function that takes a system
state (a vector of values for the state variables <em>y</em><sub>1</sub>, <tt>...</tt>, <em>y</em><sub><em>n</em></sub>)
and produces a system derivative (the values <em>y</em><sub>1</sub><sup>/</sup>, <tt>...</tt>,
<em>y</em><sub><em>n</em></sub><sup>/</sup>).  The parameter <tt>initial-state</tt> provides an initial
system state, and <tt>h</tt> is an initial guess for the length of the
integration step.</p>
<p>
The value returned by <tt>integrate-system</tt> is an infinite stream of
system states.</p>
<p>
<tt>(define&nbsp;integrate-system<br>
&nbsp;&nbsp;(lambda&nbsp;(system-derivative&nbsp;initial-state&nbsp;h)<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(let&nbsp;((next&nbsp;(runge-kutta-4&nbsp;system-derivative&nbsp;h)))<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(letrec&nbsp;((states<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(cons&nbsp;initial-state<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(delay&nbsp;(map-streams&nbsp;next<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;states)))))<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;states))))</p>
</tt>
<p>
<tt>Runge-Kutta-4</tt> takes a function, <tt>f</tt>, that produces a
system derivative from a system state.  <tt>Runge-Kutta-4</tt>
produces a function that takes a system state and
produces a new system state.</p>
<p>
<tt>(define&nbsp;runge-kutta-4<br>
&nbsp;&nbsp;(lambda&nbsp;(f&nbsp;h)<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(let&nbsp;((*h&nbsp;(scale-vector&nbsp;h))<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(*2&nbsp;(scale-vector&nbsp;2))<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(*1/2&nbsp;(scale-vector&nbsp;(/&nbsp;1&nbsp;2)))<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(*1/6&nbsp;(scale-vector&nbsp;(/&nbsp;1&nbsp;6))))<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(lambda&nbsp;(y)<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;;;&nbsp;y&nbsp;is&nbsp;a&nbsp;system&nbsp;state<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(let*&nbsp;((k0&nbsp;(*h&nbsp;(f&nbsp;y)))<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(k1&nbsp;(*h&nbsp;(f&nbsp;(add-vectors&nbsp;y&nbsp;(*1/2&nbsp;k0)))))<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(k2&nbsp;(*h&nbsp;(f&nbsp;(add-vectors&nbsp;y&nbsp;(*1/2&nbsp;k1)))))<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(k3&nbsp;(*h&nbsp;(f&nbsp;(add-vectors&nbsp;y&nbsp;k2)))))<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(add-vectors&nbsp;y<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(*1/6&nbsp;(add-vectors&nbsp;k0<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(*2&nbsp;k1)<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(*2&nbsp;k2)<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;k3))))))))<br>
<br>
(define&nbsp;elementwise<br>
&nbsp;&nbsp;(lambda&nbsp;(f)<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(lambda&nbsp;vectors<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(generate-vector<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(vector-length&nbsp;(car&nbsp;vectors))<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(lambda&nbsp;(i)<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(apply&nbsp;f<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(map&nbsp;(lambda&nbsp;(v)&nbsp;(vector-ref&nbsp;&nbsp;v&nbsp;i))<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;vectors)))))))<br>
<br>
(define&nbsp;generate-vector<br>
&nbsp;&nbsp;(lambda&nbsp;(size&nbsp;proc)<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(let&nbsp;((ans&nbsp;(make-vector&nbsp;size)))<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(letrec&nbsp;((loop<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(lambda&nbsp;(i)<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(cond&nbsp;((=&nbsp;i&nbsp;size)&nbsp;ans)<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(else<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(vector-set!&nbsp;ans&nbsp;i&nbsp;(proc&nbsp;i))<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(loop&nbsp;(+&nbsp;i&nbsp;1)))))))<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(loop&nbsp;0)))))<br>
<br>
(define&nbsp;add-vectors&nbsp;(elementwise&nbsp;+))<br>
<br>
(define&nbsp;scale-vector<br>
&nbsp;&nbsp;(lambda&nbsp;(s)<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(elementwise&nbsp;(lambda&nbsp;(x)&nbsp;(*&nbsp;x&nbsp;s)))))</p>
</tt>
<p>
<tt>Map-streams</tt> is analogous to <tt>map</tt>: it applies its first
argument (a procedure) to all the elements of its second argument (a
stream).</p>
<p>
<tt>(define&nbsp;map-streams<br>
&nbsp;&nbsp;(lambda&nbsp;(f&nbsp;s)<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(cons&nbsp;(f&nbsp;(head&nbsp;s))<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(delay&nbsp;(map-streams&nbsp;f&nbsp;(tail&nbsp;s))))))</p>
</tt>
<p>
Infinite streams are implemented as pairs whose car holds the first
element of the stream and whose cdr holds a promise to deliver the rest
of the stream.</p>
<p>
<tt>(define&nbsp;head&nbsp;car)<br>
(define&nbsp;tail<br>
&nbsp;&nbsp;(lambda&nbsp;(stream)&nbsp;(force&nbsp;(cdr&nbsp;stream))))</p>
</tt>
<p>
</p>
<p><br></p>
<p><br></p>
<p>The following illustrates the use of <tt>integrate-system</tt> in
integrating the system
</p>
<div align=left><img src="r5rs-Z-G-64.gif" border="0"></div>
<p></p>
<div align=left><img src="r5rs-Z-G-65.gif" border="0"></div>
<p>
which models a damped oscillator.</p>
<p>
<tt>(define&nbsp;damped-oscillator<br>
&nbsp;&nbsp;(lambda&nbsp;(R&nbsp;L&nbsp;C)<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(lambda&nbsp;(state)<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(let&nbsp;((Vc&nbsp;(vector-ref&nbsp;state&nbsp;0))<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(Il&nbsp;(vector-ref&nbsp;state&nbsp;1)))<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(vector&nbsp;(-&nbsp;0&nbsp;(+&nbsp;(/&nbsp;Vc&nbsp;(*&nbsp;R&nbsp;C))&nbsp;(/&nbsp;Il&nbsp;C)))<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(/&nbsp;Vc&nbsp;L))))))<br>
<br>
(define&nbsp;the-states<br>
&nbsp;&nbsp;(integrate-system<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(damped-oscillator&nbsp;10000&nbsp;1000&nbsp;.001)<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;'#(1&nbsp;0)<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;.01))</p>
</tt>
<p>
</p>
<p>

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</p>
<p>





</p>
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<p></p>
</body>
</html>
